Digitaltechnik - Logische Schaltungen
Grundlagen der Booleschen Algebra
Die Digitaltechnik basiert auf der Booleschen Algebra mit nur zwei Zuständen: - 0 = falsch (LOW, false) - 1 = wahr (HIGH, true)
Grundlegende Logikgatter
AND-Gatter (UND-Verknüpfung)
Symbol: ∧ oder ·
Wahrheitstabelle:
| A | B | Z = A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Regel: Das Ausgangssignal ist nur dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind.
OR-Gatter (ODER-Verknüpfung)
Symbol: ∨ oder +
Wahrheitstabelle:
| A | B | Z = A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Regel: Das Ausgangssignal ist 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist.
NOT-Gatter (NICHT-Verknüpfung/Inverter)
Symbol: ¬ oder Überstrich
Wahrheitstabelle:
| A | Z = ¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Regel: Das Ausgangssignal ist das Gegenteil des Eingangssignals (invertiert/negiert).
Erweiterte Logikgatter
NAND-Gatter (NOT-AND)
Formel: Z = ¬(A ∧ B) = A̅ ∧ B̅
Wahrheitstabelle:
| A | B | Z = NAND |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Besonderheit: Invertierte AND-Funktion - nur bei A=1 UND B=1 ist Ausgang 0
NOR-Gatter (NOT-OR)
Formel: Z = ¬(A ∨ B) = A̅ ∨ B̅
Wahrheitstabelle:
| A | B | Z = NOR |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Besonderheit: Invertierte OR-Funktion - nur bei A=0 UND B=0 ist Ausgang 1
XOR-Gatter (Exklusiv-ODER)
Formel: Z = A ⊕ B = (A ∧ B̅) ∨ (A̅ ∧ B)
Wahrheitstabelle:
| A | B | Z = XOR |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Besonderheit: Ausgang ist 1, wenn Eingänge unterschiedlich sind
XNOR-Gatter (Exklusiv-NOR/Äquivalenz)
Formel: Z = ¬(A ⊕ B) = (A ∧ B) ∨ (A̅ ∧ B̅)
Wahrheitstabelle:
| A | B | Z = XNOR |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Besonderheit: Ausgang ist 1, wenn Eingänge gleich sind
Schaltungssymbole und Darstellung
Gatter-Symbole (DIN/IEC-Norm)
AND: ┌─&─┐ NAND: ┌─&─○
│ │ │
└───┘ └───
OR: ┌─≥1─┐ NOR: ┌─≥1─○
│ │ │
└────┘ └────
NOT: ┌─1─○ XOR: ┌─=1─┐
│ │ │
└── └────┘
Timing-Diagramme
Die Übungsblätter zeigen Timing-Diagramme (Signalverläufe), die das Verhalten der Gatter über die Zeit darstellen:
- Eingangssignale A und B: Wechseln zwischen 0 und 1
- Ausgangssignal Z: Folgt der jeweiligen Logikfunktion
- Zeitachse: Horizontal dargestellt
Praktische Anwendungen
Einfache Schaltungen
- Lichtsteuerung: AND-Gatter für Zeitschalter UND Bewegungsmelder
- Alarmanlage: OR-Gatter für mehrere Sensoren
- Wechselschaltung: XOR-Gatter für Lichtschalter
Komplexe Systeme
- Addierer: Kombination aus XOR und AND
- Multiplexer: Datenauswahl mit Logikgattern
- Speicher: Flip-Flops aus NAND/NOR-Gattern
De Morgansche Gesetze
Wichtige Umformungsregeln:
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B (NAND = OR mit invertierten Eingängen)
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B (NOR = AND mit invertierten Eingängen)
Übungsaufgaben-Typen
1. Wahrheitstabellen erstellen
- Gegeben: Logische Funktion
- Gesucht: Alle möglichen Ein-/Ausgangskombinationen
2. Timing-Diagramme zeichnen
- Gegeben: Eingangssignale A und B
- Gesucht: Ausgangssignal Z über Zeit
3. Schaltungen vereinfachen
- Gegeben: Komplexe Logikfunktion
- Gesucht: Minimierte Darstellung
4. Gatter identifizieren
- Gegeben: Wahrheitstabelle oder Timing-Diagramm
- Gesucht: Entsprechendes Logikgatter
Wichtige Merksätze
- AND: "Alle müssen 1 sein" → Serienschaltung
- OR: "Mindestens einer muss 1 sein" → Parallelschaltung
- NOT: "Kehrt um" → Inverter
- NAND: "Universalgatter" → Kann alle anderen Gatter ersetzen
- XOR: "Nur bei Unterschied" → Vergleicher
Klausurrelevante Aspekte
- Wahrheitstabellen auswendig kennen
- Gatter-Symbole erkennen und zeichnen
- Timing-Diagramme lesen und erstellen
- Boolesche Formeln umformen
- Praktische Anwendungen erklären können